@article{chen2020neurodiffeq,
title={NeuroDiffEq: A Python package for solving differential equations with neural networks},
author={Chen, Feiyu and Sondak, David and Protopapas, Pavlos and Mattheakis, Marios and Liu, Shuheng and Agarwal, Devansh and Di Giovanni, Marco},
journal={Journal of Open Source Software},
volume={5},
number={46},
pages={1931},
year={2020}
}
🔥🔥🔥你知道吗?neurodiffeq支持解决方案包并可用于解决反向问题!点击这里查看!
:mortar_board: 已经熟悉neurodiffeq了吗? :point_down: 跳转到常见问题。
neurodiffeq
是一个使用神经网络求解微分方程的软件包。微分方程是将某个函数与其导数相关联的方程。它们在各种科学和工程领域中出现。传统上,这些问题可以通过数值方法(如有限差分、有限元)来解决。虽然这些方法有效且足够,但它们的表达能力受到函数表示的限制。如果我们能够计算出连续且可微的微分方程解,那将会很有意思。
作为通用函数逼近器,人工神经网络已被证明具有解决具有特定初始/边界条件的常微分方程(ODE)和偏微分方程(PDE)的潜力。neurodiffeq
的目标是实现这些使用ANN求解微分方程的现有技术,使软件具有足够的灵活性,可以处理各种用户定义的问题。
与大多数标准库一样,neurodiffeq
托管在PyPI上。要安装最新的稳定版本,请运行:
pip install -U neurodiffeq # '-U'表示更新到最新版本
或者,你可以手动安装库以获取我们新功能的早期访问权。这是希望为库做出贡献的开发者推荐的方式。
git clone https://github.com/NeuroDiffGym/neurodiffeq.git cd neurodiffeq && pip install -r requirements pip install . # 如果要对库进行更改,请使用`pip install -e .` pytest tests/ # 运行测试。可选。
我们很乐意解答你的任何问题。同时,你可以查看常见问题。
要查看neurodiffeq
的完整教程和文档,请查看官方文档。
除了文档之外,我们最近还制作了一个快速入门的演示视频和幻灯片。
from neurodiffeq import diff from neurodiffeq.solvers import Solver1D, Solver2D from neurodiffeq.conditions import IVP, DirichletBVP2D from neurodiffeq.networks import FCNN, SinActv
这里我们解决一个非线性的两个ODE系统,称为Lotka–Volterra方程。有两个未知函数(u
和v
)和一个独立变量(t
)。
def ode_system(u, v, t): return [diff(u,t)-(u-u*v), diff(v,t)-(u*v-v)] conditions = [IVP(t_0=0.0, u_0=1.5), IVP(t_0=0.0, u_0=1.0)] nets = [FCNN(actv=SinActv), FCNN(actv=SinActv)] solver = Solver1D(ode_system, conditions, t_min=0.1, t_max=12.0, nets=nets) solver.fit(max_epochs=3000) solution = solver.get_solution()
solution
是一个可调用对象,你可以向它传递numpy数组或torch 张量,如:
u, v = solution(t, to_numpy=True) # t可以是np.ndarray或torch.Tensor
将u
和v
与它们的解析解进行对比绘图,得到类似这样的结果:
这里我们在一个矩形上解带有Dirichlet边界条件的拉普拉斯方程。注意,我们选择拉普拉斯方程是因 为它计算解析解的简单性。在实际应用中,你可以尝试任何非线性、混沌的PDE,只要你能够充分调整求解器。
求解2-D PDE系统与求解ODE非常相似,只是边值问题有两个变量x
和y
,或者初始边值问题有x
和t
,这两种情况都支持。
def pde_system(u, x, y): return [diff(u, x, order=2) + diff(u, y, order=2)] conditions = [ DirichletBVP2D( x_min=0, x_min_val=lambda y: torch.sin(np.pi*y), x_max=1, x_max_val=lambda y: 0, y_min=0, y_min_val=lambda x: 0, y_max=1, y_max_val=lambda x: 0, ) ] nets = [FCNN(n_input_units=2, n_output_units=1, hidden_units=(512,))] solver = Solver2D(pde_system, conditions, xy_min=(0, 0), xy_max=(1, 1), nets=nets) solver.fit(max_epochs=2000) solution = solver.get_solution()
二维偏微分方程的solution签名与常微分方程略有不同。同样,它接受NumPy数组或PyTorch张量作为输入。
u = solution(x, y, to_numpy=True)
在[0,1] × [0,1]区间上评估u得到以下图形
基于ANN的解 | PDE的残差 |
---|---|
![]() | ![]() |
监视器是一种用于可视化PDE/ODE解以及训练过程中损失和自定义指标历史的工具。Jupyter Notebook用户需要运行%matplotlib notebook魔法命令。对于Jupyter Lab用户,请尝试%matplotlib widget。
from neurodiffeq.monitors import Monitor1D ... monitor = Monitor1D(t_min=0.0, t_max=12.0, check_every=100) solver.fit(..., callbacks=[monitor.to_callback()])
您应该会看到图形每100个epoch更新一次,以及在最后一个epoch更新,显示两个图表——一个用于在[0,12]区间上的解可视化,另一个用于损失历史(训练和验证)。
为了方便起见,我们实现了FCNN——全连接神经网络,其隐藏单元和激活函数可以自定义。
from neurodiffeq.networks import FCNN # 默认: n_input_units=1, n_output_units=1, hidden_units=[32, 32], activation=torch.nn.Tanh net1 = FCNN(n_input_units=..., n_output_units=..., hidden_units=[..., ..., ...], activation=...) ... nets = [net1, net2, ...]
FCNN通常是一个很好的起点。对于高级用户,求解器兼容任何自定义的torch.nn.Module。唯一的约束是:
模块接受形状为(None, n_coords)的张量作为输入,并输出形状为(None, 1)的张量。
传递给solver = Solver(..., nets=nets)的nets中必须总共有n_funcs个模块。
实际上,neurodiffeq有一个single_net功能,不遵循上述规则,这里不会涉及。
阅读PyTorch教程,了解如何构建自己的网络(即模块)架构。
通过将old_solver.nets(一个torch模块列表)序列化到磁盘,然后加载并传递给新的求解器,可以轻松实现迁移学习:
old_solver.fit(max_epochs=...) # ... 将old_solver.nets保存到磁盘 # ... 从磁盘加载网络,存储在loaded_nets变量中 new_solver = Solver(..., nets=loaded_nets) new_solver.fit(max_epochs=...)
我们目前正在开发用于保存/加载网络和Solver的其他内部变量的包装函数。同时,您可以阅读PyTorch教程,了解如何保存和加载网络。
在neurodiffeq中,通过最小化在域内一组点上评估的损失(ODE/PDE残差)来训练网络。这些点每次都会随机重新采样。要控制采样点的数量、分布和边界域,您可以指定自己的训练/验证生成器。
from neurodiffeq.generators import Generator1D # 默认 t_min=0.0, t_max=1.0, method='uniform', noise_std=None g1 = Generator1D(size=..., t_min=..., t_max=..., method=..., noise_std=...) g2 = Generator1D(size=..., t_min=..., t_max=..., method=..., noise_std=...) solver = Solver1D(..., train_generator=g1, valid_generator=g2)
以下是Generator1D的一些样本分布。
Generator1D(8192, 0.0, 1.0, method='uniform') | Generator1D(8192, -1.0, 0.0, method='log-spaced-noisy', noise_std=1e-3) |
---|---|
![]() | ![]() |
注意,当同时指定train_generator和valid_generator时,可以在Solver1D(...)中省略t_min和t_max。事实上, 即使您同时传递t_min、t_max、train_generator、valid_generator,t_min和t_max仍将被忽略。
生成器的另一个很好的特性是可以将它们连接在一起,例如
g1 = Generator2D((16, 16), xy_min=(0, 0), xy_max=(1, 1)) g2 = Generator2D((16, 16), xy_min=(1, 1), xy_max=(2, 2)) g = g1 + g2
在这里,g将是一个输出g1和g2组合样本的生成器
g1 | g2 | g1 + g2 |
---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() |
您可以使用Generator2D
、Generator3D
等来在高维空间中采样点。但还有另一种方法:
g1 = Generator1D(1024, 2.0, 3.0, method='uniform') g2 = Generator1D(1024, 0.1, 1.0, method='log-spaced-noisy', noise_std=0.001) g = g1 * g2
在这里 ,g
将是一个生成器,每次产生1024个点,这些点位于二维矩形(2,3) × (0.1,1)
中。这些点的x坐标从(2,3)
区间内使用uniform
策略抽取,y坐标从(0.1,1)
区间内使用log-spaced-noisy
策略抽取。
g1 | g2 | g1 * g2 |
---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() |
有时,一次性求解一组方程是很有意思的。例如,你可能想要求解形如du/dt + λu = 0
的微分方程,其中初始条件为u(0) = U0
。你可能想要一次性求解所有λ
和U0
的情况,通过将它们作为神经网络的输入来处理。
这种应用的一个例子是化学反应,其中反应速率是未知的。不同的反应速率对应不同的解,而只有一个解与观察到的数据点匹配。你可能对首先求解一组解,然后确定最佳反应速率(即方程参数)感兴趣。第二步被称为反问题。
以下是使用neurodiffeq
来实现这一目标的示例:
假设我们有一个方程du/dt + λu = 0
和初始条件u(0) = U0
,其中λ
和U0
是未知常数。我们还有一组观察值t_obs
和u_obs
。我们首先导入BundleSolver
和BundleIVP
,这 对于获得解集是必要的:
from neurodiffeq.conditions import BundleIVP from neurodiffeq.solvers import BundleSolver1D import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import torch from neurodiffeq import diff
我们确定输入t
的范围,以及参数λ
和U0
的范围。我们还需要决定参数的顺序。即哪个应该是第一个参数,哪个应该是第二个。为了演示的目的,我们选择λ
作为第一个参数(索引0),U0
作为第二个(索引1)。记住参数的索引非常重要。
T_MIN, T_MAX = 0, 1 LAMBDA_MIN, LAMBDA_MAX = 3, 5 # 第一个参数,索引 = 0 U0_MIN, U0_MAX = 0.2, 0.6 # 第二个参数,索引 = 1
然后我们像往常一样定义conditions
和solver
,只是我们使用BundleIVP
和BundleSolver1D
而不是IVP
和Solver1D
。这两者的接口与IVP
和Solver1D
非常相似。你可以在API参考中了解更多。
# 方程参数跟在输入(通常是时间和空间坐标)之后 diff_eq = lambda u, t, lmd: [diff(u, t) + lmd * u] # BundleIVP中的关键字参数必须命名为"u_0"。如果你使用其他名称,如`y0`、`u0`等,将无法工作。 conditions = [ BundleIVP(t_0=0, u_0=None, bundle_param_lookup={'u_0': 1}) # u_0的索引为1 ] solver = BundleSolver1D( ode_system=diff_eq, conditions=conditions, t_min=T_MIN, t_max=T_MAX, theta_min=[LAMBDA_MIN, U0_MIN], # λ的索引为0;u_0的索引为1 theta_max=[LAMBDA_MAX, U0_MAX], # λ的索引为0;u_0的索引为1 eq_param_index=(0,), # λ是唯一的方程参数,其索引为0 n_batches_valid=1, )
由于**λ
是方程中的参数**,而**U0
是初始条件中的参数**,我们必须在diff_eq
中包含λ
,在条件中包含U0
。如果一个参数同时出现在方程和条件中,它必须同时包含在两个地方。传递给BundleSovler1D
的conditions